Immagine ricostruita, da Gustav Friedrich Hertzberg: Geschichte der Stadt Halle an der Saale, Band I

E poi, non crediate, dionescampi, che tutto sia così oggettivo, men che meno nella storia della scienza: taluni hanno detto di scorgere, ad un certo punto della parete, dei paesaggi da togliere il respiro, cui altri hanno invece guardato con stanca indifferenza. Fortunatamente il cervello degli umani è vario assai.

In questa storia dello spuntare dell’idea di infinito all’orizzonte della scienza moderna ci sono stati alcuni che si son com—piaciuti un sacco e altri che sono addirittura inorriditi. Esempio vivido di ciò fu il matematico tedesco Leopold Kronecker (1823 – 1891) che ritenne i “numeri transfiniti” (vedi oltre) creati dal matematico di nascita pietroburghese ma poi attivo a Halle, in Sassonia-Anhalt, Georg Cantor (1845 – 1918), suo antico allievo, Humbug – ciarlatanerie – come del resto il grande matematico e fisico Henri Poincaré (1854 – 1912) che li definì una “malattia” dalla quale la matematica andava guarita.

E la questione è sempre la solita: appena ci si distacca, poco o tanto, da quelle che sembrano essere nozioni intuitive, qualcosa dentro di noi si ribella: ma come, il mondo non è fatto come ce lo siamo sempre immaginati, fin dalla culla? Non c’è risposta tranchant a queste domande; per il passato, non c’è che guardare la storia della disciplina e esaminare quello che hanno fatto i protagonisti, di primo, ma anche di secondo e di terzo piano.

Un fatto che mi pare abbastanza chiaro è questo: inoltrandoci verso la fine dell’Ottocento e entrando nel Novecento – è la burrascosa e abbagliante epoca guglielmina – in molti, moltissimi settori della cultura, nel senso più lato possibile, dell’Occidente (che del resto del mondo non so dir nulla), sempre più troviamo segni di questo strappo del velo che l’intuizione, il paradigma del conoscere che ci sorbiamo automaticamente da piccoli, ci tiene davanti agli occhi.
Uno strappo del velo di Maya – metafora che Schopenhauer traeva dal pensiero indiano – che tratteneva gli umani in un mondo di apparenze fenomeniche dalle molteplici facce, e che costituivano quella cultura che fu poi spesso definita in molti settori, soprattutto scientifici, “classica”.

L’aspetto matematico della faccenda è quello che qui ci tocca da vicino. S’è visto che appena si abborda l’idea di infinito cominciano ad accadere cose strane, ma strane appunto perché non intuitive.

Vi ho detto della scelta cruciale di una definizione di “equivalenza” tra gli insiemi, che in questo caso prende il nome di equipotenza, anche non finiti (che d’ora in poi chiamerò infiniti, senza più problemi). E la scelta è centrata sul criterio che dice che due insiemi sono equipotenti quando è possibile istituire tra loro una corrispondenza biunivoca. Conseguenze di questa scelta sono i fatti strani finora visti, consistenti nella possibilità che un insieme sia equipotente con qualche suo sottoinsieme (non con tutti, ovviamente). Questo però fornisce anche un criterio per andare avanti, almeno in questo senso: anche tra gli insiemi infiniti si potrà stabilire una gerarchia, l’insieme A è più numeroso dell’insieme B.
Si può sì, e si fa così: se succede che non si può stabilire nessuna corrispondenza biunivoca tra A e B – il che ovviamente va dimostrato, non basta dire che non riusciamo ad inventarne una – e se B è un sottoinsieme di A (o, per la precisione, se è equipotente a un sottoinsieme di A), allora A è più potente di B.
Esempio: l’insieme R di tutti i numeri reali è più potente dell’insieme N dei naturali – e quindi dell’insieme dei pari, dell’insieme dei razionali, ecc. In questo caso, infatti, l’insieme degli interi (o anche dei pari, ecc.) è un sottoinsieme di R ma si dimostra che non esiste alcuna corrispondenza biunivoca tra N e R, proprio non ce ne può essere alcuna.

E voi direte, ma ci sono anche insiemi più potenti dell’insieme R, sì che ci sono, non c’è limite a quanto un insieme può essere “numeroso”, vi accenno solo che una tecnica per ottenere un insieme più potente di un insieme infinito qualsiasi A è quella di considerare l’insieme, che si indica di solito con P(A), di tutti i sottoinsiemi possibili di A, detto anche l’insieme delle parti di A. Ad esempio l’insieme R dei reali è equipotente all’insieme delle parti dell’insieme dei naturali N. E così via.

Bene, un modo per nominare la “potenza” di un insieme infinito è quello di assegnarle un numero, che viene per l’appunto detto transfinito: esempio
– la potenza – il numero transfinito – comune ai naturali, ai pari, ai razionali ed eventualmente altri, viene detta potenza del numerabile e indicata con la lettera aleph, א , prima lettera dell’alfabeto ebraico, con indice in basso zero (che qui non sono capace di mettere) , che viene letta “aleph con zero”.
– la potenza – il numero transfinito – corrispondente all’insieme dei numeri reali R è detta potenza del continuo e denotata con la lettera aleph, senza alcun indice, o talvolta provvista dell’indice 1 in basso, “aleph con uno”.
– e così via, si può proseguire: ogni volta si considera l’insieme parti del precedente e si ottiene un aleph maggiore: c’è una – infinita! – successione di numeri transfiniti, aleph con uno, aleph con due, aleph con tre, ecc. ecc.

Adesso armatevi di pazienza e sorbitevi quest’ultimo esempio, che vi darà grande soddisfazione e ovviamente vi stupirà un’altra volta: prendete un segmento KL di una retta r (K e L sono due punti distinti di r). L’insieme dei punti della retta r, lo sappiamo, ha la potenza del continuo, perché rappresenta l’insieme dei numeri reali, o, meglio, siamo noi che abbiamo decretato così, cioè abbiamo deciso che l’oggetto geometrico retta è un modo di visualizzare l’insieme dei numeri reali. Ma il segmento KL, che è un sottoinsieme della retta, che potenza avrà? Voi siete già smagati a questo punto, mica direte che per forza ha una potenza inferiore a quella della retta, o per lo meno, non necessariamente, può averla inferiore oppure no. Come si fa a decidere? Basta vedere se si può trovare o no una corrispondenza biunivoca tra la retta e un suo segmento.
Facile come l’acqua fresca. Guardate questa figura, che ho disegnato con paint e quindi perdonerete le imprecisioni.

corrispondenza biunivoca tra retta e segmento

Questo è un bel risultato, anch’esso sorprendente, naturalmente: un qualsiasi segmento, per piccolo che lo prendiate, contiene “tanti punti quanti” ne contiene l’intera retta. Siamo sempre lì, tutto dipende dalla definizione che i matematici hanno scelto per “avere la stessa potenza”, “avere tanti elementi quanti” in termini dell’esistenza di una corrispondenza biunivoca.

Di questo passo si arriva a capire che qualsiasi (pericolosissimo aggettivo) linea piana che voi possiate immaginare, una circonferenza, un’ellisse, uno scarabocchio qualsiasi è equipotente a R. Per trovare insiemi davvero più numerosi di R bisogna sforzarsi parecchio, Non bastano neppure le superficie piane o i volumi: con un po’ di sforzo si dimostra che l’insieme di tutti i punti del nostro infinito spazio tridimensionale è equipotente con un segmentino piccolo ad arbitrio.

E Achille e la tartaruga? La raggiunge? Vedremo.

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