Parlando della presa del pensiero sulla realtà, spero di avervi convinto almeno di una cosa, che per superare, risolvere, capire davvero quello che sembra un paradosso, occorre andargli dentro e spiegarlo con le sue stesse armi: nel caso della storia di Achille e della tartaruga, non basta cioè l’osservazione sperimentale del fatto che voi – ancorché non siate il Piè Veloce – raggiungete facilmente, se volete, qualsiasi tartaruga arranchi davanti ai vostri piedi (in terra, perché in mare con quelle delle Galàpagos, non saprei…), e neppure basta una procedura apparentemente più razionale, e cioè quello che seguirebbe qualsiasi studente di meccanica cui venisse posto il problema così formulato: dato Achille che corre con velocità V e parte da un punto distante a dal punto, davanti a lui, dal quale parte una tartaruga che comincia a correre (si fa per dire) con velocità v nello stesso istante nel quale comincia Achille e ovviamente nella stessa direzione, dopo quanto tempo (se, come si presume, V è maggiore di v) Achille raggiunge la tartaruga e a che distanza dal punto di partenza di Achille? A questo problema qualsiasi studente liceale che sappia i primi elementi di cinematica risponde in minuti quattro che il tempo richiesto è pari a a /(V-v) e che il punto nel quale avviene il sorpasso dista aV / (V-v) dal punto di partenza di Achille.

Ma non è questo il fatto cruciale: se crediamo, almeno un poco, alla coerenza logica del sensato ragionare.

Per rispondere a Zenone occorre dire se e come il suo ragionamento è sbagliato e come invece, anche seguendo correttamente il suo ragionamento, Achille raggiunge la tartaruga esattamente nello stesso momento e nello stesso luogo previsti dallo studente di meccanica.

Qual è il motivo per cui il ragionamento di Zenone sembra concludere che Achille non possa raggiungere la tartaruga? Il motivo è che il ragionamento presuppone infiniti passi e non si possono certo fare infiniti passi in un tempo finito, no? O sì?
Vediamo.
Un modo semplice per convincervi che invece ciò è largamente possibile, basta avere la mente un po’ aperta, ma neanche poi tanto, è il seguente:

Tutti sapete, e vedete in questa figura, cos’è un segmento AB; anzi sapete anche che contiene tanti punti quanto un’intera retta, cioè aleph, e via dicendo. Allora prendete AB e dividetelo a metà, chiamate A1 il punto di mezzo. Ora considerate la seconda metà delle due ottenute, cioè il segmento A1 B, e dividetelo a metà, ottenendo così il punto di mezzo A2. Analogamente ottenete i punti A3, A4, ecc. dividendo sempre a metà l’ultima metà precedentemente ottenuta.
In questo modo ottenete una successione di infiniti punti (A1, A2, A3, …..) e di infiniti segmenti: (A A1, A1 A2, A2 A3, A3 A4, …); tutti questi segmenti hanno questa proprietà, che sono tutti contenuti nel segmento A B, che tra loro non si sovrappongono (a parte i punti estremi, che non contano nulla) e che sono “tanti quanti” i numeri interi, cioè sono aleph con zero. Ma hanno soprattutto la straordinaria proprietà che la loro somma, somma di infiniti addendi, è – evidentemente – tutta contenuta nel segmento A B, che ha lunghezza finita. Questo esempio geometrico elementare mostra che la somma di infiniti pezzi, purché, come in questo caso, vadano rimpicciolendosi “abbastanza velocemente”, può anche essere finita. Diciamo che la lunghezza di A B sia 1 metro, e supponiamo di esprimere tutte le lunghezze in metri, allora la lunghezza di A A1 è ½, quella di A1 A2 è ¼, quella di A2 A3 è ⅛, e avanti così. Vuol dire che se eseguo la somma ½ + ¼ + ⅛ + ecc. trovo sempre un numero più piccolo di 1, che ha tra l’altro la proprietà di avvicinarsi a 1 quanto voglio io – basta sommare abbastanza tanti addendi.
Allora abbiamo stabilito questo, che la somma di infiniti addendi non è necessariamente infinita, può anche essere finita, dipende se mai da come sono fatti questi “infiniti addendi”. E allora cade il motivo principale di stupore per il paradosso di Achille e la tartaruga, che può venire trattato con gli strumenti dell’analisi ordinaria.

Questo è il punto essenziale, Zenone sbaglia quando conclude, dopo avere astutamente diviso il lasso di tempo nel quale Achille raggiunge la tartaruga in infiniti intervallini, sempre più piccoli, che allora, siccome questi sono infiniti, il raggiungimento non è possibile. L’esempio del segmento fa invece toccare con mano che questa conclusione è assolutamente non necessaria: la somma di infiniti numeri può dare un numero finito.

Rimarrebbe da eseguire esplicitamente il calcolo, seguendo la linea di Zenone, cioè l’astuta suddivisione, calcolo che mostra come anche così si ottengono esattamente gli stessi risultati dello studente di meccanica. Per far questo, occorre dare senso rigoroso a quell’espressione che con tanta leggerezza ho usato, la “somma di infiniti numeri”, e occorre conoscere come si fa a sommare una serie, cosa che qui non faccio, per non appesantire la faccenda e anche perché non saprei come scrivere qui le formule necessarie. Ma le formule, come spesso accade, non sono il cuore del problema: una volta che si sia guardato con l’occhio addestrato il segmento A B, tutto diventa chiaro.

Come ho già detto, Borges si occupa attivamente della questione. Oltre al saggio che già avevo citato, ve n’è un altro, intitolato “La perpetua corsa di Achille e della tartaruga”, nel quale molte delle argomentazioni qui esposte sono accennate, e peraltro borgesianamente trattate. Vi copio, dulcis in fundo, la conclusione di questo saggio:

Sono arrivato al finale della mia notizia, non del nostro cavillare. Il paradosso di Zenone di Elea, come osservò James, è un attentato non solo alla realtà dello spazio, bensì a quella più invulnerabile e sottile del tempo. Aggiungo che l’esistenza in un corpo fisico, la permanenza immobile, lo scorrere di una sera della vita, si allarmano di avventura per colpa sua. Quella decomposizione accade mediante la sola parola infinito, parola (e poi concetto) di spavento che abbiamo generato temerariamente e che una volta ammessa in un pensiero, esplode e lo uccide. (Ci sono altri moniti antichi contro il commercio di una parola tanto perfida: c’è la leggenda cinese dello scettro dei re di Liang, che diminuiva di una metà ad ogni nuovo re; lo scettro, mutilato da dinastie, esiste ancora.) La mia opinione, dopo quelle qualificatissime che ho presentato, corre il doppio rischio di sembrare impertinente e banale. La formulerò, tuttavia: Zenone è incontestabile, a meno di confessare l’idealità dello spazio e del tempo. Accettiamo l’idealismo, accettiamo l’accrescimento concreto di quanto è percepito, e potremo eludere il brulicare di abissi del paradosso.
Ritoccare il nostro concetto dell’universo, per quel pezzettino di tenebra greca?, domanderà il mio lettore.
(J. L. Borges, Tutte le opere, vol. I, Meridiani Mondadori, Milano 1984, pp. 384-85).

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Achille finalmente raggiunge la tartaruga

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