Sono stato qualche giorno in un luogo di villeggiatura, sul lago Maggiore. Molto bello. Quasi tutte le scritte che informano i passanti sono in inglese, come se la maggior parte degli italiani sapessero quella lingua. Si potrebbero fare molti esempi imbarazzanti o ridicoli. Ma ce n’è uno che li sorpassa tutti, che non riguarda però, almeno speriamo, il Lago Maggiore, con le sue spiagge e le sue seducenti isole..
L’esempio è quello del rubicondo presidente del Grande Stato fonte di Giustizia e Libertà, sul quale ho già avuto modo di esprimermi qui e qui , con un aggettivo differente. Alludo al loro Donald, che di cognome fa, guarda caso, Trump. Non so quanti italiani sappiano cosa significa questa parola nella lingua che credono di sapere. E’ una parola che imparavamo, ai tempi miei (una settantina di anni fa) e nella nostra lingua, ben da piccoli, perché allora usava molto, anche tra i giovanissimi, giocare a carte. Quei vecchi giochi cui giocavano già i nostri nonni (e nonne), scopa, briscola, briscola chiamata e via dicendo. Bene, trump è l’equivalente inglese di briscola, con tutte le metafore e le allusioni che vi si possono attaccare.
Questa briscola che gli statunitensi hanno creduto di avere in mano, cui hanno deciso (stavolta – a differenza della prima nella quale numericamente aveva vinto Hilary Clinton – a stragrande maggioranza) di affidare le loro sorti, il loro futuro, sta rivelando la propria caratteristica fondamentale, la voglia di prendere, accompagnata da una continua, incerta ambiguità. Questa ambiguità dà spesso luogo a quelle che, sempre appunto in inglese, vengono dette trumperies, che guarda caso significa prevalentemente, malefatte, imbrogli e via dicendo.
Lui, da parte sua, ritiene forse di essere, contrariamente alle regole del gioco, una briscola non solo di denari, ma anche di spade, di bastoni, e di coppe. Invece è solo il due di coppe che è la briscola con meno valore, ogni altra carta di coppe la prende.
Bene, questo inimmaginabile personaggio che è riuscito ad avere abbastanza denari e abbastanza amici danarosi (che però pare che di recente oscillino parecchio, niente più tanta briscola) per arrivare a quella carica dalla quale molto si può ordinare e disfare – Truman, tanto per fare un esempio infame, ordinò l’atomica su Hiroshima e Nagasaki – pare a me invece non sappia mai bene cosa fare, forse l’unica che gli importa davvero è non perdere i suoi dollari. Mi capita di leggere quasi ogni giorno notizie contrastanti al suo riguardo: rispetto a Zelenski, a Putin, a Xi, a Netanyahu, perfino alla nostra Meloni che se l’accarezza ogni volta che lo vede, ma anche in questo caso, invece di carezze, ogni tanto suonano schiaffi; per non parlare poi dei dazi, sui quali non ha mai lo stesso atteggiamento: comprensivo e morbido (o morboso?), ruvido, incazzato, minaccioso, o talvolta perfino di quelli che dicono: fate quel che volete, io penso a me e faccio MAGA.
Chissà, molti prevedono che questo porterà alla fine del potere degli USA, molti pensano alla terza, e ultima, guerra mondiale, i più non pensano e questo è ciò che davvero permette le pazzie del potere di tutti coloro che ci governano.

di Antonio Sparzani
Tu, nelle vie della città dove, guardingo e ben armato, ti aggiri, vedi comparire, a un tiro di schioppo da te (guarda un po’ che espressione appropriata) un gruppetto di cinque persone, e tu sai con certezza, perché appartieni a qualche “servizio” e hai dei capi bene informati, che esattamente uno di loro è un tuo nemico mortale, ma non hai elementi per capire quale dei cinque sia. In ogni momento può accorgersi di te, ma sembra disarmato e in giro con amici. Tu lo vuoi morto, allora, col tuo potente fucile mitragliatore (molto meglio di uno “schioppo”), pensi che sia un’occasione d’oro e che fai?, spari a tutti e cinque, così sei sicuro?
Tu sei il pilota di un aereo, anch’esso ben armato, che stai sorvolando una città e i capi del servizio cui appartieni ti dicono che hanno saputo che, nell’ospedale Ariafelix che vedi poco distante, si è rifugiato, sperando nella protezione del luogo, un gruppetto dell’organizzazione tua nemica, che sarà in qualche stanza dell’ospedale. L’ospedale è ormai uno dei pochi ancora funzionanti nella zona e contiene molte dozzine di malati e malate, uomini, donne e bambini, di personale addetto alla cura e alla gestione dell’ospedale. Tu, nel tuo arnese volante, hai delle belle bombette che potrebbero radere al suolo l’ospedale in pochi minuti. Tu che fai? Ti porti verticale sull’obiettivo e lasci cadere bombe sufficienti allo scopo?
E così via, molte altre domandine dello stesso tenore in situazioni differenti, ma con la stessa scelta di fondo. Tu che fai? Molto di quello che accade dipende, come tutti capiscono, dalle risposte che vengono date. Il signor Benjamin Netanyahu, detto Bibi (pensano che faccia tenerezza?), ma certo non solo lui, possiede risposte chiare e distinte per “andare sul sicuro”, risposte ben diverse da quelle che darebbe il sottoscritto e spero molti di quelli che leggeranno questo.
Naturalmente (ma in quale senso “naturalmente”? È la natura umana che è fatta così? Domanda complicata cui varie risposte sono state date) non mancano esempi nella storia che conosciamo, di massacri, genocidi, distruzioni di massa, gli Armeni, i Catari, i Tutsi i primi tre che mi vengono in mente — ma non c’è che l’imbarazzo della scelta — con numeri di vittime colossali. Ma nel nostro caso c’è una caratteristica peculiare, si uccidono persone che proprio non c’entrano, solo perché sono “vicino” alle altre, quelle da eliminare.
Alla domanda “tu che fai?” ci sarebbero forse molte risposte possibili, ma ce n’è una radicale; “li uccido tutti, così son sicuro”.
Mi pare che l’evoluzione dei comportamenti in guerra sia nella direzione di dare la risposta radicale di Netanyahu e dei suoi sgherri. Come tutti han già detto mille volte i morti in guerra una volta erano prevalentemente militari, adesso sono prevalentemente civili, e non da ieri. Chi legga con attenzione una descrizione accurata del bombardamento di Dresda da parte dell’aviazione britannica sul finire della II° guerra mondiale non avrà dubbi. Per non parlare di Hiroshima e Nagasaki. Chi ha davvero il potere e i suoi esecutori, mediamente i militari, sembra abbiano una considerazione di “tutti gli altri” come di uno scalino più in basso dal punto di vista del valore della vita. Penso che su questo ci sia molto da meditare.

“Cominciamo con una citazione:
Nella sua saggezza e nella sua povertà molisana, il dottor Ingravallo, che pareva vivere di silenzio e di sonno sotto la giungla nera di quella parrucca, lucida come pece e riccioluta come agnello d’Astrakan¸ nella sua saggezza interrompeva codesto sonno e silenzio per enunciare qualche teoretica idea (idea generale s’intende) sui casi degli uomini: e delle donne. A prima vista, cioè al primo udirle, sembravano banalità. Non erano banalità. [ . . . ] Sosteneva, tra l’altro, che le inopinate catastrofi non sono mai la conseguenza o l’effetto che dir si voglia, d’un unico motivo, d’una causa al singolare: ma sono come un vortice, un punto di depressione ciclonica nella coscienza del mondo, verso cui hanno cospirato tutta una molteplicità di causali convergenti. Diceva anche nodo o groviglio, o garbuglio, o gnommero, che alla romana vuol dire gomitolo. Ma il termine giuridico “le causali la causale” gli sfuggiva preferentemente di bocca: quasi contro sua voglia. L’opinione che bisognasse “riformare in noi il senso della categoria di causa” quale avevamo dai filosofi, da Aristotele o da Emmanuele Kant, e sostituire alla causa le cause era in lui un’opinione centrale e persistente: una fissazione, quasi: che gli evaporava dalle labbra carnose, ma piuttosto bianche, dove un mozzicone di sigaretta spenta pareva, pencolando da un angolo, accompagnare la sonnolenza dello sguardo e il quasi-ghigno tra amaro e scettico, a cui per “vecchia” abitudine soleva atteggiare la metà inferiore della faccia, sotto quel sonno della fronte e delle palpebre e quel nero piceo della parrucca.
La causale apparente, la causale principe, era sì, una. Ma il fattaccio era l’effetto di tutta una rosa di causali che gli eran soffiate addosso a molinello [ . . . ].”
(Italo Calvino, Lezioni americane, Garzanti 1988, pp. 101-2, dove viene citato Carlo E. Gadda, Quer pasticciaccio brutto de via Merulana, Garzanti 1973, pp. 2-3).

Chi abbia letto il Pasticciaccio ricorderà che si trattava del “dott. Francesco Ingravallo comandato alla mobile”, da tutti detto “don Ciccio”, quello appunto che indagherà sul pasticciaccio per tutto il libro.
I passi gaddiani ricordati e trascritti da Calvino sono ben più lunghi, e sempre anche divertenti e gustosi, ma mi sono forzato a mantenere qui quello che più mi interessa. Che probabilmente già si capisce dalla mia scelta all’interno delle lunghe citazioni e che del resto Calvino poco dopo riprende così:

“Ho voluto cominciare con questa citazione, perché mi pare che si presti molto bene a introdurre il tema della mia conferenza, che è il romanzo contemporaneo come enciclopedia, come metodo di conoscenza, e soprattutto come rete di connessione tra i fatti, tra le persone, tra le cose del mondo. [ . . . ] Ho scelto Gadda [ . . . ] soprattutto perché la sua filosofia si presta molto bene al mio discorso, in quanto egli vede il mondo come un “sistema di sistemi”, in cui ogni sistema singolo condiziona gli altri e ne è condizionato” (Lezioni, p. 103).

La lettura di tutto questo mi ha fatto scattare varie scintille nella testa. Quando s’invecchia si ricordano facilmente certe cose lontane nel tempo e si perde la memoria di quel che si è fatto l’altro ieri. Così è accaduto che ho ripensato alla mia lontana lettura di Guerra e Pace, romanzo che mi aveva ai tempi molto colpito non solo e non tanto per le vicende del principe Andrej, della fascinosa Nataša e di Pierre Bezuchov (che già nominavo qui ) e qui ) quanto per le varie ed estese considerazioni che Lev N. Tolstoj accuratamente esprime sulla guerra e sull’andamento del mondo. Sono molte e riguardano vari aspetti degli avvenimenti storici e qui ovviamente mi limito a passarvene qualcosa che è vicina al filo che stiamo seguendo. Prendendo le mosse dalle osservazioni che Tolstoj espone sulla matematica, leggiamo il seguito:

“I movimenti dell’umanità, essendo l’espressione di un numero infinito di volontà umane, si compiono in modo continuo.
Impadronirsi delle leggi di questo movimento è lo scopo degli storici. Ma per afferrare le leggi del movimento continuo costituito dalla somma di tutte le volontà umane la mente dell’uomo utilizza unità arbitrarie e discontinue. Il primo passo di ogni ricerca storica consiste nel prendere una serie arbitraria di avvenimenti continui e nell’esaminarli separatamente dagli altri; [ . . . ] Il secondo passo consiste nell’esaminare l’azione di un uomo, re o condottiero, come una somma di volontà umane, mentre la somma delle volontà umane non si esprime mai nell’attività di un solo personaggio storico.”

Da tutto questo a me pare di poter trarre una – quasi evidente – conclusione: nessun avvenimento storico può essere ascrivibile ad una sola causa, ma a una moltitudine di altre, talora meno talora più importanti, almeno al nostro, fallibile, giudizio. Il quadro che ci fa intravedere Tolstoj è quello di una rete fitta e irregolare, nella quale ogni nodo è legato a chissà quanti altri. Del resto, cercando altre fonti meno “romanzesche” ma più autenticamente storiche sull’argomento, mi sono imbattuto in una bella e intrigante monografia, che s’intitola Du sens de l’histoire, dello studioso Frédéric Press (L’Harmattan, Paris, 2014); ecco quanto si legge a pag. 92:

“Dans le même ordre d’idées, la causalité semble suivre sa logique propre. Les évènements sont liés par une chaine dont la permanence même tient lieu de vérité. Mais plus on remonte dans le temps et plus incertaine est la cause. Elle est toujours plus diffuse et l’historien en est réduit à rechercher les meilleures proximités. Par la force des choses, ou de leur logique interne, il n’est plus face à une mais à un ensemble de causes ».

Ora basta citazioni di supporto a un’affermazione non così peregrina: qualsiasi avvenimento, dai più minuscoli ai più clamorosi ha tante cause. Dal che si desume altrettanto ovviamente che, salvo nei casi più minuti e banali, quando qualcuno prende la decisione di fare una cosa, e la fa, solo vagamente e comunque con scarsa sicurezza può prevederne i risultati. Certo quando il 18 giugno del 1914 Gavrilo Prinzip uccise a Sarajevo, nella loro carrozza, l’arciduca Francesco Ferdinando, erede al trono d’Absburgo, e la sua consorte Sofia, duchessa di Hohenberg, non prevedeva, né probabilmente intendeva dare inizio alla prima guerra mondiale, e viceversa non possiamo sostenere che la prima guerra mondiale sia stata provocata (soltanto) dal gesto di Prinzip.
Arrivato a questo punto ho cominciato a pensare agli attuali governanti del mondo, ammesso che sappiamo esattamente chi siano (non certo soltanto la schiera dei Biden, Putin, Ji, Netanyahu, Starmer, Scholz, Macron ecc.), che mediamente detesto, ma in qualche modo anche compiango: chissà se e quanto sono consapevoli che le loro scelte, che pure sono costretti a fare, quasi giorno per giorno, avranno un effetto non necessariamente coincidente con quello che essi sperano e auspicano, cioè quello che si erano ripromessi di provocare facendo quelle scelte.
Dalla cosiddetta globalizzazione in poi, questo problema è diventato sempre più grave: i fattori, gli stati, in gioco sono sempre di più, ci sono i rapporti commerciali da tener d’occhio, non solo i rapporti di forza, ci sono ogni momento imprevisti, fatti non prevedibili e non previsti, che vengono a mutare la scena e quindi a mutare le strategie immaginate. Certo, tutti i decisori avranno appositi comitati, gruppi di aiuto di informatori affidabili, ma il problema globale è ormai troppo complesso e la previsione del futuro diventa sempre più fallibile quanto più questo futuro è lontano: per il domani posso forse ancora dire qualcosa, per dopodomani un po’ meno, tra un mese è già un disastro.
Aggiungo, ciliegina sulla torta, che le cose davvero importanti per le sorti del mondo, noi gente comune con ogni probabilità non le sappiamo; staranno forse, forse, scritte sui libri di storia di qualche secolo a venire.

Di Fabrizio Centofanti

In potenza siamo molte cose: un’energia allo stato puro che tende verso una realizzazione. Ma è l’atto che ci definisce. È l’idea di progetto: chi siamo veramente? Conosciamo il nostro destino, ciò per cui siamo al mondo? Ci interessa? Lo spartiacque tra superficialità e profondità sta in questo punto. Dove trovare gli strumenti per conoscersi? Secoli di percorsi spirituali e decenni di studi sulla psiche ci stanno alle spalle: sono sufficienti? L’esperienza e la competenza altrui permettono di riconoscere l’unico e l’irripetibile, la realtà originale e non replicabile che è in noi? È evidente che, non trascurando gli strumenti messi a disposizione dalla cultura e dalla storia, occorre trovare vie che facciano procedere nella ricerca. C’è un Oltre che ci supera. Un Essere che ci contiene, al quale siamo noti. Mancasse questo, non sapremmo mai chi siamo.

La conseguenza immediata di questa consapevolezza è che mi libero dal giudizio degli altri: non sanno nulla di me. Il passo successivo è che mi libero dal mio giudizio: cosa so di me stesso? Posso capirmi solo visto dall’Oltre al quale sono noto. Per questo è necessario un anghelos, un messaggero, qualcuno che mi dia notizie dalla patria di cui sono cittadino. Notizie buone, perché scalzano le false certezze accumulate nel tempo, a causa dei giudizi degli altri e di me stesso. Non possiamo vivere senza questo vangelo, letteralmente buona notizia. Abbiamo bisogno di qualcuno che ci informi su ciò che veramente siamo, sull’abissale distanza da quello che crediamo di essere.

La follia dei numeri, frutto forse dei deliri o forse delle intelligenze dei matematici, non è certo tutta qui. Perché una volta che si è capito che esistono – sempre in quel senso speciale del verbo “esistere” – dei numeri decimali che hanno infinite cifre non nulle dopo la virgola, che però hanno la caratteristica che la parte dopo la virgola è formata, da un certo punto in poi, solo da gruppetti ripetitivi di cifre, cioè i numeri decimali periodici, la domanda che arriva ovvia è: ma se io scrivo un numero decimale che ha dopo la virgola infinite cifre senza alcun gruppetto che si ripeta, cosa ottengo? Intanto ho fatto male a dire “scrivo” perché nessuno al mondo è in grado di far ciò; diciamo invece “penso”? Peggio ancora, come faccio a pensare infinite cifre, neppure Zeus Olimpio ne sarebbe stato capace, e allora? Perché ci sembrava possibile pensare a un numero decimale infinito periodico? Perché sapevamo la regoletta per andare avanti, bastava continuare a ripetere lo stesso gruppetto di cifre. E allora anche qua: se conosco una regoletta che mi permette di andare avanti all’infinito perché mi spiega come calcolare in ogni punto la cifra successiva, allora posso dire di conoscere il numero almeno nello stesso senso in cui conoscevo quelli periodici. Certo, ma ci sono delle regolette così? Ebbene sì che ci sono, soprattutto una, una di quelle che avete imparato alle medie e che avete subito dimenticato: la famosa estrazione di radice quadrata √ . Come mai è saltata fuori quest’altra operazione di “radice quadrata”? Tutta colpa di Pitagora.

Dico subito che non intendo impelagarmi nella faccenda del teorema di Pitagora, sul quale fiumi d’inchiostro sono stati spesi, se qualcuno è interessato si legga ad esempio il bel libro di Paolo Zellini, Il teorema di Pitagora, Adelphi 2023 e si ascolti su youtube una sua bella lezione qui . Aggiungerò solo che la storia di questo teorema e di problemi simili, comprende antichi testi babilonesi, indiani (vedici), cinesi ed egiziani nel I° millennio prima di Cristo (Pitagora, che in greco ha l’accento sulla “o”, visse nel VI° secolo a.C.).
Forse l’enunciato del teorema non l’avete tutti dimenticato perché rimane impresso più facilmente, essendo legato ad una figura geometrica semplice: il triangolo rettangolo, ovvero che ha un angolo retto. Ricorderete che il suo lato più lungo (quello opposto all’angolo retto) viene chiamato ipotenusa e che gli altri due vengono detti cateti. Bene, il teorema dice che l’area del quadrato costruito sull’ipotenusa è equivalente alla somma delle aree dei due quadrati costruiti sui cateti, Se chiamiamo a e b le misure dei cateti (in una qualsiasi unità di misura di lunghezza) e c la misura dell’ipotenusa, il teorema assicura che a^2 + b^2 = c^2. E allora, se conosco le misure a e b dei cateti e voglio conoscere quanto misura l’ipotenusa, devo eseguire il quadrato di a e di b, facile, poi sommare i due quadrati, facile, e così ottengo c^2, ma poi? Facile? No certo. Devo trovare un numero il cui quadrato conosco. Cioè devo eseguire l’operazione inversa dell’elevamento al quadrato. Se il numero di partenza è un numero speciale, tipo 1, 4, 9, 64, e infiniti altri, allora è facile, come credo tutti vediate, ma se il numero da cui parto è 2? Per esempio se i due cateti misurano entrambi 1, la somma dei loro quadrati è 2 e non conosco alcun numero che abbia come quadrato 2; e allora si sarà trovata la famosa regoletta di cui dicevo, che permette di ottenere cosa? Permette di costruire, passo passo, un numero decimale il cui quadrato si avvicina sempre più a 2. Così come, quando volevo dividere 1 per 3 ottenevo 0,3333. . ., cioè dei numeri che, moltiplicati per 3 davano 0,9 , 0,99 , 0,999 , 0,9999 , che si avvicinavano a 1 ancorché senza mai raggiungerlo davvero.
Forse Aristotele avrebbe detto che questa è una conoscenza del numero non in atto ma in potenza? Non so, meglio chiedere a un esperto aristotelico.
Questo numero il cui quadrato è 2 si chiama la radice o, più precisamente, la radice quadrata di 2; e conosciamo la regoletta per calcolarlo, sì, per calcolare cosa esattamente? Per calcolare una fila – si dice una successione – di numeri i cui quadrati si avvicinano quanto si vuole a 2. Dunque anche qui: la nostra conoscenza della radice quadrata di 2 consiste esattamente in un modo per andarle vicino quanto si vuole. Cosa significa esattamente “quanto si vuole”? Significa che, se immaginate un numerino piccolo ad arbitrio, del tipo 0,0000001, chiamatelo ε come spesso si fa in matematica, allora se andate abbastanza avanti nel calcolo con la regoletta, arrivate certamente a un numero n il cui quadrato differisce da 2 per meno di ε. E così tutti quelli che vengono dopo n: si avvicinano finché si vuole. Si scrive bellamente √(2). E dico “bellamente” perché la nostra conoscenza è quella che avete capito: astrattamente la radice esiste perché noi decretiamo che siano numeri reali tutti i numeri che si possano scrivere anche con un numero infinito di cifre dopo la virgola, anche se nessuno lo può “vedere” o “pensare” tutto in una volta. E, qui viene un punto importante, questo numero certamente non è periodico, perché se fosse tale, allora ci sarebbe una frazione che lo rappresenta (la ricordata frazione generatrice) e si dimostra in due righe che la radice di due non può essere messo sotto forma di frazione (se qualcuno/a mi chiede la dimostrazione gliela metto in un commento). Dunque non è un numero razionale, e quindi lo chiamiamo irrazionale. Che sembra paradossale, ma il punto è che i numeri razionali si chiamano così, non perché ubbidiscono alla ragione, ma proprio perché possono essere messi sotto forma di frazione (ratio), e quindi per questo tutti gli altri devono esser chiamati irrazionali.
Dove siamo arrivati con la follia dei numeri: siamo arrivati a costruire una classe di numeri che sembra li contenga tutti, visto che possiamo scrivere un numero qualsiasi di cifre prima della virgola e una successione qualsiasi di cifre dopo la virgola, anche una qualsiasi successione infinita, cosa vogliamo di più folle ancora? Non si sa mai, vedremo.

Si potrebbe forse, sul filo di queste considerazioni, mettere un limite? Già, ma dove e perché? Credo che qualsiasi limite andrebbe incontro a obiezioni e problemi formali e anche non formali.
Detto con una parola fin qui non scritta, i numeri interi positivi – detti anche, udite udite, numeri naturali – sono infiniti. Cosa vuol dire questo aggettivo che percorre anche la nostra lingua naturale (“ti amo infinitamente”, “un appartamento nel centro di Parigi costa infinitamente di più che una casupola sull’Appennino”) e in essa significa “tanto tanto”? Vuol invece dire letteralmente “non finito”, cioè vuol dire che non si arriva mai in fondo, che non c’è limite, che si può andare avanti finché si vuole: con la fantasia certo ma in nessun senso materialmente praticabile. Possiamo chiamarla astrazione, giustificata da una necessità logica, per esempio dalla necessità di poter definire la somma e il prodotto di due numeri interi qualsiasi: se ci fosse un limite N, il numero più grande di tutti, non potremmo eseguire somme o prodotti di numeri minori di N che diano un risultato maggiore di N.
Ma poi? Questa non è che una piccola follia rispetto a quant’altro ci siamo inventati: il fatto stesso che io li abbia chiamati poche righe fa “numeri interi positivi” indica già che c’è dell’altro, numeri non interi e/o non positivi. Quelli non interi fanno ancora parte dell’esperienza comune: io ti voglio dare un peperone e mezzo se tu mi dài due melanzane. E quell’uno e mezzo, tutti lo sappiamo, possiamo ormai scriverlo 1,5 (in Italia si usa la virgola, altrove si usa il punto, ma poco importa, pur di saperlo). Se vogliamo però dividere 10 mele in tre persone, abbiamo qualche difficoltà in più: se ne diamo 3 a ciascuna, ne rimane una, che bisogna equamente dividere in 3. Bisogna imparare a fare le divisioni. 1 : 3. Cioè dare a ognuno un terzo di mela, che scriviamo talvolta 1/3; sì, ma c’è un modo per scrivere questa quantità con un numero? Se applichiamo le regole che ci siamo già inventati per eseguire le divisioni, otteniamo 0,3333. . . ., non riusciamo a scriverlo tutto, questo numero, perché, per quanto andiamo avanti troviamo una fila di 3. E allora? Allora ci inventiamo i numeri decimali periodici, ovvero che hanno infinite cifre dopo la virgola però che si ripetono, magari a gruppi:
per esempio 1/7 = 0,(142857) dove con la parentesi – o il trattino sopra, a seconda delle convenzioni – si indica il gruppetto di cifre che si ripete. Si ripete, capite, si ripete infinitamente. Come faccio se devo dividere una torta per 7 persone? Certo non posso usare quel bizzarro numero periodico, piuttosto “vado a occhio” con eventuali proteste di chi avrà una fetta di qualche millimetro più piccola.
E allora a cosa serve preoccuparsi dell’esistenza di quel quoziente? Serve, risponde il matematico, per far sì che l’insieme dei numeri che maneggiamo sia un po’ più “completo”, cioè che si possano fare sempre le addizioni, le moltiplicazioni, ma anche le divisioni, vi pare? Eh sì, così oltre alla moltiplicazione è fattibile la sua inversa, la divisione, per carità, non la divisione per 0, che non dà alcun risultato (supponiamo di aver passato sotto silenzio l’invenzione del numero 0, com’è noto di provenienza araba).
E l’operazione inversa della somma, che sembra molto più innocua? 5 – 3 siamo capaci di farlo, ma 3 – 5 no. E allora ecco perché c’era quell’aggettivo “positivi”, perché si è voluto aggiungere degli altri numeri per rendere possibile sempre anche l’operazione inversa della somma, la sottrazione. Ed ecco che 3 – 5 ha un risultato, che chiamiamo -2, i numeri non si chiamano più interi, ma relativi, e formano una fila che non solo non finisce, ma neppure comincia: . . . .- 4, – 3, – 2, – 1, 0, 1, 2, 3, 4 . . . . numeri negativi prima dello zero e positivi quelli dopo.
E così s’è costruito un bel mucchio di oggetti, che chiamiamo sempre numeri, con aggettivi vari, nei quali si possono eseguire le operazioni che conosciamo normalmente (tranne s’intende, la divisione per 0, bisogna sempre ricordarlo). Questo “mucchio” è quello dei numeri razionali, così denominati perché si possono sempre mettere sotto forma di frazione, ovvero di divisione di un intero per un altro. Infatti si dovrebbe aggiungere a quanto detto che qualsiasi numero decimale, anche con infinite cifre dopo la virgola, purché ci sia un gruppetto di quelle cifre che sempre si ripeta, può essere rappresentato sotto forma di frazione, c’è l’apposita regoletta che avete tutti imparato alle medie, e subito dimenticato. E molto di quanto detto, notate, è stato motivato da questa esigenza di completezza: poter fare sempre, in tutti i casi, le quattro operazioni che capitano anche nella vita quotidiana.

Ma non è facile accontentare un matematico, che ha sempre nuove pretese, di cui ci occuperemo alla prossima puntata.

di Antonio Sparzani
La prima puntata qui e la seconda qui.
Che cosa hanno in comune una Ferrari e il censimento della popolazione nell’antica Roma? Non molto, sembrerebbe, salvo che c’è una stessa parola che è implicata in entrambe. Nell’antica Roma, due millenni prima dell’epoca delle Ferrari, Tito Livio, storico di età augustea, scrisse un’opera immensa, cui si conviene di dare il titolo Ab urbe condita – dalla fondazione della città–per–eccellenza – un’opera che in 142 libri ripercorreva, con partecipazione e devozione intense per le sorti di Roma, la sua storia dalla fondazione all’inizio dell’impero, il tempo di Augusto. Mentre narra degli avvenimenti – in tempo di pace – della repubblica, Livio ha occasione di segnalare l’origine di un istituto importante nella storia di Roma, quello della censura che non designa, in quest’epoca, quel che oggi normalmente s’intende con questa parola (anche se non ne è poi così lontana, e forse tutto è cominciato da qui…), ma l’operazione di censire la popolazione, e censire significa, così ci racconta Livio, qualcosa di più che semplicemente contare e sapere nomi e domicili dei cittadini:

«In questo medesimo anno ebbe principio la censura, istituto che ebbe piccolo esordio, ma che acquistò di poi sì grande incremento. Ché il regolamento dei costumi e della disciplina Romana fu nelle mani del nuovo magistrato, ed il Senato e le centurie dei cavalieri ebbero il discernimento del loro onore o disonore in suo potere; e l’ispezione dei luoghi pubblici e privati, le rendite del popolo romano, furono al suo cenno ed arbitrio.»

(Tito Livio, Ab urbe condita, 4, VIII, trad. it. di Emilio Bodrero.)

Dunque un censimento non proprio neutrale, a quanto dice Livio: il potere del magistrato sembra andare oltre la mera registrazione dei cittadini; ma poiché, continua Livio, mentre diventava urgente eseguire questa operazione, i consoli avevano altre faccende più importanti da seguire,

«Fu presentata al Senato una memoria, nella quale si faceva presente che quella operazione, faticosa e poco consolare, aveva bisogno di un magistrato speciale, dal quale dipendessero gli scribi, i custodi e la cura dei registri, e che regolasse a suo modo la formula del censimento [cui arbitrium formulæ censendi subiceretur]»

(ibid.)

È proprio la parola latina formula, diminutivo di forma ma con un evidente slittamento di significato, che fa la sua comparsa, nel senso di insieme di regole enunciate (stavo per scrivere “formulate”) con precisione, da seguire nell’esecuzione del censimento. Insieme di regole, dunque, purché ben precisate e non soggette ad ambiguità; prescrizioni chiare e distinte.

E sembra anche, secondo il dizionario del Battaglia, che la prima occorrenza in un testo italiano della parola “formola” stia proprio in un volgarizzamento della prima metà del XIV secolo dell’opera di Tito Livio, in questa frase “Il banditore con un trombetta, secondo è costume, s’avanzò in mezzo l’arena donde con solenne formola suole intimarsi la festa.”
Se poi leggete la definizione che della voce formula dà il Battaglia stesso:

“Frase o insieme di frasi rituali che una norma religiosa o giuridica oppure la consuetudine impone di ripetere, secondo un ordine fisso, nelle circostanze previste dalla norma stessa.”

vi accorgete che essa è squisitamente letteraria, nessuna traccia viene menzionata di contesti anche vagamente scientifici.

E oggi la Ferrari non è, forse, per antonomasia, una macchina di “formula 1”? Anche qui la stessa parola è usata, si noti, in un senso molto simile: l’insieme di regole cui è soggetta una certa categoria di automobili per poter partecipare a un ben preciso tipo di gare.
E poi c’è la formula di governo, un insieme di regole, frutto di delicati equilibri ed alchimie, dalle quali è costituita quella che il linguaggio ufficiale chiama “la compagine ministeriale”. O la formula, spesso riservata, di una crema di bellezza, le regole ferree – e commercialmente segrete – con le quali deve essere composta quella crema, per poter avere quel marchio e quel nome.
Su questa strada ci si avvicina ovviamente alla formula chimica di un composto, quell’insieme di simboli, che funzionano secondo precise regole internazionalmente stabilite – N sta per azoto, O per ossigeno, Sb per antimonio, ecc. – e che vanno combinati in modo da esprimere esattamente quali elementi e in quali proporzioni formano il dato composto; H²O (il 2 andrebbe in basso, ma qui l’editor non lo permette) è la formula dell’acqua e ci dà una informazione precisa su quali sono i costituenti elementari dell’acqua: ogni molecola, minima quantità d’acqua che ne conserva le proprietà, è costruita con due atomi di idrogeno e uno di ossigeno. Non è naturalmente una informazione ancora completa su come l’acqua è fatta (problematica in verità non facilissima neppure per gli studiosi), però fornisce una informazione precisa, per quanto parziale, su un aspetto dell’acqua.
Fino ad arrivare alla formula fisica, o, in cima alla scala, alla formula matematica. Sì, la formula matematica di cui tutti i non addetti ai lavori hanno un sacro terrore – ah, io non capirò mai una formula, sono negato – eppure, provate a fare un respiro lungo e a chiedervi per lo meno perché si utilizzano le formule.

Pensate alla musica: se non l’avete mai studiata e guardate uno spartito, provate la stessa sensazione di completa estraneità, mentre se qualcuno vi ha invece iniziato a quest’altro codice, a questo nuovo modo di tradurre simboli in cose che fanno risuonare la vostra testa, allora lo spartito di nuovo acquista vita, ne carpite i segreti, che più tali non sono, esso rimanda anzi a una successione di suoni dei quali potrete innamorarvi o che potrete rifiutare, ma certamente avrà perso la sua natura di enigma. Perché è stato inventato questo codice? Perché sarebbe stato molto complicato usare le parole del linguaggio naturale per descrivere una melodia: ad esempio: si cominci con la nota, chiamata do3, corrispondente a tot vibrazioni al secondo di una corda metallica, poi si suoni la nota che ha i 9/8 della sua frequenza e poi… e poi… . Certamente infattibile. È stato necessario inventare dei simboli per quelle note, un modo per scriverle, usando la posizione rispetto a un rigo fatto di cinque linee parallele orizzontali come simbolo del valore delle loro frequenze, e poi codificare le pause tra le note, la durata di ognuna di esse, il ritmo da seguire, eccetera, eccetera. E tutto diventa chiaro e limpido.

La fisica ormai si serve con grande abbondanza delle formule matematiche<. forse la più famosa — e la più letteralmente disastrosa – delle formule, E = mc², a volerla dire solo in parole, suonerebbe così: “l’energia potenzialmente contenuta in un corpo di massa m è pari al prodotto del valore di tale massa per la velocità della luce elevata al quadrato”, tutto con le opportune unità di misura, naturalmente. Pur di sapere il significato dei simboli E, m, c, la formula riassume tutto ciò. E figuratevi poi cosa può succedere in casi davvero più complicati! Le formule non sono che un’abbreviazione, talvolta inevitabile proprio per la comprensione, da parte di chi conosce il codice, di un’affermazione del linguaggio naturale. Il codice è lungo e complicato? Anche quello della musica non scherza, per non dire poi di quel codice che tutti siamo obbligati a conoscere, che è la nostra lingua naturale.

di Antonio Sparzani
Una delle prime parole che compaiono nei manuali di matematica è la parola insieme. E il primo capitolo è spesso dedicato alla “teoria degli insiemi”. Io mi sono chiesto sia da dove salta fuori questa parola insieme sia poi come abbia fatto a diventare un vero sostantivo, da avverbio che era all’inizio. Per soddisfare la mia curiosità sono andato a guardare alcuni sacri testi e naturalmente ho capito che, come spesso accade, occorre scavare nel latino.
Nel latino dell’età postaugustea – la prima testimonianza che se ne ha è nelle opere del poeta P. Papinio Stazio (circa 45 – 96 d.C.) – si forma la parola insimul, talvolta insemel, col significato di “allo stesso tempo”, “tutto in una volta”. Essa sottintende vicinanza di tempo e di luogo, contiguità di esistenza. La parola si afferma e rimane, e trapassa, attraverso il latino medievale, in varie forme della lingua volgare, nel nascente italiano, fino a comparire nel Duecento, per la prima volta documentata nel primo dei deliziosi sonetti della Compiuta Donzella. Vari studiosi hanno messo in dubbio l’esistenza stessa o quanto meno l’identità di questa sfortunata donna fiorentina, primo esempio nella nostra letteratura del topos della donna infelice oppressa dai propri familiari, topos che avrà forse nella dolorosa vicenda cinquecentesca di Isabella di Morra un suo drammatico esito.

Prendetevi il tempo di leggere il sonetto di questa Donzella (si discute anche se Compiuta sia il suo nome vero, piuttosto che un fittizio appellativo) per il puro piacere, e per un filo di com-passione, di ascoltare un lamento così accorato e gentile:

A la stagion che ‘l mondo foglia e fiora
acresce gioia a tut[t]i fin’amanti:
vanno insieme a li giardini alora
che gli auscelletti fanno dolzi canti;

la franca gente tutta s’inamora,
e di servir ciascun trag[g]es’inanti,
ed ogni damigella in gioia dimora;
e me, n’abondan mar[r]imenti e pianti.

Ca lo mio padre m’ha messa ‘n er[r]ore,
e tenemi sovente in forte doglia
donar mi vole a mia forza segnore,

ed io di ciò non ho disio né voglia,
e ‘n gran tormento vivo a tutte l’ore;
però non mi ralegra fior né foglia.

(testo in Poeti del Duecento, a c. di Gianfranco Contini, vol. I, t. I, Ricciardi, Milano-Napoli 1995, p. 434)

Certo ancor oggi ciò che lamenta la Donzella non è sparito dalle pratiche di homines poco sapientes di varie nazionalità.
È poi d’obbligo ricordare un passo ben più famoso, ma ove il significato è del tutto analogo, quello del quinto canto dell’Inferno dantesco, quando Dante chiede a Virgilio di poter parlare con quei due, s’intende Paolo e Francesca, che se ne vanno per la bufera infernal che mai non resta, sì, ma sempre, si noti, saldamente abbracciati (un esempio di contrappasso non completamente spiacevole):

I’ cominciai: “Poeta, volontieri
parlerei a quei due che ‘nsieme vanno,
e paion sì al vento esser leggieri”.

(Dante, Inferno, canto V, vv. 73-75)
Queste prime accezioni del termine sembrano dunque del tutto naturali: si vuol indicare una forte vicinanza. Quando un termine incontra successo nella lingua, questa tende a estenderlo e a trascinarlo ad altri usi e ad altre funzioni. Vi è un certo momento nella storia linguistica d’Italia nel quale l’avverbio, talvolta locuzione prepositiva `insieme a’, `insieme con’ viene promosso a sostantivo. Si comincia a poter dire “l’insieme di” o “l’insieme dei”. Mentre il primo uso attestato di questo tipo risale al nostro Cinquecento, mi pare più interessante citare qui un passo della celebre Storia della Letteratura Italiana di Francesco De Sanctis (Morra Irpina 1817 – 1883); l’autore sta parlando del Decamerone, e argomenta in modo assai suggestivo sulla capacità di Boccaccio di adeguare la struttura del suo periodare alla complessità dei fatti raccontati:

“Perché il fatto non è come l’idea, uno e semplice, ma come il corpo, è un multiplo, un insieme di circostanze e di accessori. Questo insieme è il periodo, il quale nella sua evoluzione è ciò che in pittura si chiama un quadro. Aggruppare le circostanze, subordinarle, coordinarle intorno ad un centro, ombreggiare, lumeggiare, è arte somma nel Boccaccio.”

(Francesco De Sanctis, Storia della letteratura italiana, 2 voll., Salani, Firenze 1965; I° ed. Morano editori in Napoli, 1870-71, vol. I, p. 397.)

Il sostantivo insieme appare dunque nella lingua naturale con la funzione di indicare un raggruppamento di oggetti, concreti o astratti, animati o inanimati, accomunati da una qualche caratteristica, da una qualche loro proprietà; in musica si usa il corrispondente francese ensemble per indicare un gruppo, solitamente più contenuto di un’orchestra, di artisti che suonano sistematicamente insieme. Come sempre succede, la scienza, che pure è costretta a servirsi del linguaggio naturale, pesca in questo grande magazzino termini che la aiutino a esprimere e a precisare i suoi concetti. E tale scelta può ben dipendere dalla lingua che si considera. Per quest’idea, che stiamo cominciando a mettere a fuoco, l’inglese usa la parola set, che proviene da una metafora completamente diversa che non lo `stare insieme’ e il tedesco usa Menge che ha a che fare con l’idea di mescolanza. Il russo množestvo fa riferimento all’idea di moltitudine. Le lingue romanze (con l’eccezione del romeno che utilizza il termine di origine slava molţime) si affidano invece all’idea comune espressa dall’italiano insieme, dal francese ensemble, dal castigliano e dall’identico portoghese conjunto, e dal catalano conjunt.
Naturalmente il punto di vista della matematica è il più neutrale possibile. Si parla di insieme non appena è individuata una certa famiglia di oggetti che hanno qualcosa in comune. Il che significa: un insieme può venire individuato da una determinata proprietà, oppure anche in un modo più debole: posso ostensivamente indicare alcuni oggetti e dire “l’insieme di questi oggetti”, o posso semplicemente elencarli, senza indicare una specifica proprietà comune, salvo, autoreferenzialmente, quella di essere stati da me indicati o elencati.

Il capitolo iniziale della moderna matematica si occupa proprio delle regole che si devono rispettare per poter parlare di un insieme e del come gli insiemi possono essere usati e combinati tra loro: è la cosiddetta teoria degli insiemi. Questa, che è oggi parzialmente insegnata fin dalla scuola media, con l’infelice nome di `insiemistica’, ha incontrato nella sua storia novecentesca, accanto a un notevolissimo sviluppo, impreviste difficoltà. Per quanto possa ingenuamente apparire priva di rischi logici, la nozione stessa di insieme si è invece rivelata particolarmente delicata e quindi rigogliosa fonte di paradossi e antinomie.
Tutte difficoltà connesse ad esempio alla frase “consideriamo l’insieme di tutti gli insiemi”: sarà un insieme? Apparterrà a se stesso? Mah. Su quel che segue qui mi guardo bene dal soffermarmi.