Non conosco alcuna miglior formulazione del cosiddetto paradosso di Achille e la tartaruga di quella fornita da Carlo Emilio Gadda (cui già accennavo qui): ascoltate la sua inimitabile prosa:

La cheli, estromesso il capo, annaspava un’idea: commise con il Piè Veloce che lo avrebbe superato nella corsa, quando bastavale alcuna precedenza alle mosse. Disse il Tachipo: “di buona misura, affè di Giove!: prenditi una parasanga in avanti”. “Che sì, che sì”, fece la scudata nonna: e biasciando non si sa che liquerizia codeste befane le le suggano, l’andava rivolgendo guancia scarna di là, poi di qua, non sopravvenissero e’ micidî, come son ghespe o lambruzze: finchè la si risolvette al cammino, da dover consumare quella anticipata parasanga. E poi di molto arrancare delle quattro spatole, con chel crostone del clipeo così rappreso in sulla sua testudinata pertinacia, alfine la vi pervenne.
Dal buon centauro, allora, sendogli in nell’antra mano la clepsidra, si abbassò la bandierola scarlatta: “Addio Chirone!”: “addio ragazzo!” Ed eccolo a perdifiato lasciare dietro di sè le pianure come liberata saetta: che davano scàlpito gli quattro zoccoli, al savio, con gran fersate di sua coda: e ne venía scintille dalle selci quasi da solicitata focaia.
Tre diti in nella superna fiala non avea scemato la polvere, e ‘l Tachipo aveva fatto il vantaggio. Ma la tortuca, in fra tanto, avacciò di chel vantaggio un millesimo.
Achille fece il millesimo. Ma la Tortuca, in fra tanto, avacciò un millesimo di chel millesimo.
Mai dunque potè chiapparla: e ancor oggi e’ fuggano.

(Carlo Emilio Gadda, Il primo libro delle favole, Garzanti, Milano1952, disegni di Mirko Vucetich, tra i quali quello in figura, pp. 49-50).

Gadda inventa la lingua ma non le cose:la parasanga era una misura di lunghezza persiana; secondo Erodoto valeva 30 stadi, poco meno di 6 Km.
Quella descritta in questa straordinaria parafrasi è solo una delle forme, probabilmente la più nota, nelle quali Zenone di Elea (circa 495 – 430 a. C.), discepolo prediletto di Parmenide, articola il suo ragionare intorno al tempo e al moto, suscitando il paradosso, che del moto nega la possibilità. Questo ragionare assume anche un’altra forma, quella detta “della freccia”, e contiene, tra le sue premesse, in tutte le formulazioni che ne possediamo, l’asserzione, data per ovvia, che “niente si muove all’istante”, e analogamente “un mobile occupa sempre uno spazio uguale a se stesso”; e allora, voi ben capite, se niente si muove all’istante, allora in ogni istante la freccia è ferma, e come può il suo moto essere il risultato di tante quieti? Chi mai può non riconoscere l’evidenza inoppugnabile di un tale ragionamento?

Zenone – a detta naturalmente di quelli autori antichi (Aristotele, Simplicio, Filopono, Temistio, ecc.) che ne riferiscono l’opinione – poiché dei suoi scritti nulla abbiamo – trae la conclusione dell’impossibilità complessiva del moto.

Georg W. F. Hegel, nelle sue Lezioni sulla storia della filosofia ricorda che Diogene di Sinope, il Cinico (IV sec. a. C.), volendo confutare le argomentazioni di Zenone contro il movimento, si limitò ad alzarsi e a camminare su e giù; informazione, questa, contenuta nelle Vite dei filosofi di Diogene Laerzio e negli scritti di Sesto Empirico. Ma nella prima edizione (pubblicata postuma nel 1833) delle Lezioni Hegel soggiunge (inserto che poi scomparve nella seconda edizione, 1840, sulla quale è condotta la traduzione italiana, La Nuova Italia, 1998, p. 294) che Diogene stesso rimproverò un discepolo che accettò questa confutazione. “Infatti – commenta Hegel – non ci si deve accontentare della certezza sensibile, bisogna anche capire”

E questo, come appunto si capisce, è un punto.

E allora, come si risponde al paradosso di Zenone nelle sue varie forme? Non certo ripetendo che si tratta di un paradosso, o osservando beotamente che “però sperimentalmente la freccia si muove”, o che “è evidente che Achille raggiunge la tartaruga”, perché una simile risposta equivale appunto a rinunciare alla presa del pensiero sulla realtà.

La faccenda di Achille e la tartaruga, più che non le altre forme del paradosso (freccia e altre), ha colpito la fantasia di scrittori di ogni tempo, e molti han voluto a modo loro rivisitare la questione e azzardare risposte: raramente queste hanno centrato il, o indicato la soluzione del, problema; non sfugge a questa valutazione Jorge L. Borges, che pure nella Metempsicosi della tartaruga (in J. L. Borges, Tutte le opere, Meridiani Mondadori, Milano 1983, vol. I, p. 393) fornisce un funambolico inventario di tali rivisitazioni, inventario che tra l’altro così esordisce:

C’è un concetto che è il corruttore e l’ammattitore degli altri. Non parlo del Male il cui limitato impero è l’etica; parlo dell’infinito.

E non sfugge neppure quanto scrive Lev N. Tolstoj in Guerra e Pace, grande libro, nel quale, oltre a narrare la storia di Natascia, del principe Andrej e del conte Bezuchov, ci si sofferma a discettare su molti ma molti altri argomenti:

…è proprio da questa arbitraria divisione della continuità del moto in unità discontinue che deriva gran parte degli errori umani. È noto l’antico sofisma secondo cui Achille non raggiungerà mai la tartaruga che gli cammina davanti, sebbene Achille proceda dieci volte più veloce della tartaruga; quando Achille avrà percorso lo spazio che lo divide dalla tartaruga, la tartaruga avrà percorso un’altra decima parte dello stesso spazio; Achille percorrerà questa decima parte e nel frattempo la tartaruga ne percorrerà una centesima parte, e così via all’infinito. Questo problema appariva insolubile agli antichi. L’assurdità della conclusione (Achille non raggiungerà mai la tartaruga) derivava unicamente dal fatto che si consideravano, in modo arbitrario, unità discontinue di moto, mentre il moto di Achille e della tartaruga avveniva in modo continuo.

No, neppure la risposta di Tolstoj è soddisfacente, nel senso che non è ben chiaro cosa lui intenda dire con queste sue “unità discontinue”, né come invece la continuità risolva il paradosso.

Sarà bene dunque cominciare a rispondere almeno all’argomentazione della freccia: la premessa di Zenone: “la freccia in ogni istante è ferma” è falsa, perché predicare di un oggetto la proprietà di essere “fermo in un istante” significa inevitabilmente confrontare la sua posizione in quell’istante con la sua posizione in istanti – vicini quanto si vuole all’istante scelto – ma distinti da esso: la proprietà “essere fermo in un istante” non è una proprietà che riguarda soltanto le caratteristiche di un oggetto in quell’istante, ma richiede un confronto. Si può invece tranquillamente dire “la freccia è in un istante in un certo posto” senza che ne risulti alcuna aporia. E allora non v’è alcuna contraddizione nel pensare che la freccia si muova verso il bersaglio, non è vero che in ogni istante essa sia ferma, è solo un inganno della lingua.

Una risposta molto simile, e pienamente convincente, si trova del resto già in Aristotele (Phys. Z, 3, 234a 24 e sgg., ma soprattutto 234b 5-9):

Inoltre noi diciamo che è in quiete ciò che, tanto in se stesso quanto nelle sue parti, si trova ora allo stesso modo che prima. Ma nell’istante non c’è il prima; e quindi neppure la quiete. Necessariamente, dunque, solo nel tempo il mosso si muove e il quieto riposa.
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Capite, dunque, è la parola “fermo” che inganna: dire che un oggetto è fermo in un istante è molto più forte che dire che “è” in un istante, ovvero che in un istante occupa una certa posizione. Per accertarsi della quiete occorre confrontare le posizioni in due istanti diversi, successivi. Guardate che questo linguaggio è impreciso: dire “due istanti successivi” è una follia, cos’è mai un istante “successivo” a un altro, in mezzo a loro, comunque li prendiate vicini, chissà quanti altri ce ne sono (infiniti, e con potenza aleph, come ormai sapete perfettamente). Si può dir così, che per affermare che un corpo sia fermo in un istante pretendiamo che ci sia un intervallino, piccolo quanto si vuole, comprendente quell’istante e con i suoi due estremi diversi, in tutto il quale il corpo occupi la stessa posizione. E allora la famigerata freccia non è ferma in alcun istante, dopo che è stata scoccata.

Aggiungo che gli storici dell’arte si sono interessati a questa problematica della situazione “in un istante”, in quanto un pittore, o uno scultore, quando raffigura un episodio importante deve coglierne un istante significativo, culminante. Sulla possibilità di conseguire questo risultato e sulla tecnica relativa discute tra gli altri Ernst H. Gombrich in un articolo dal titolo Moment and movement in art apparso nel 1964 sul Journal of the Warburg and Courtauld Institutes, vol. 27 e ripreso poi in un volume assai interessante, un bel misto di scienza e arte, curato da P. T. Landsberg, intitolato The Enigma of Time, Hilger, Bristol 1982.

Voi direte, e Achille, raggiungerà la tartaruga, sì che la raggiungerà, ma dovrà aspettare la prossima puntata.