Dialogo sull’entropia (#9). L’Aristogas.

di Antonio Sparzani e Dario Voltolini

Molto bene, allora. Proviamo a fare una descrizione discreta dell’Elio. Ma intanto mi pare di capire che le cose si complicano, e che gli atomi di Elio non sono abitanti normali del paesino. E che le nostre descrizioni sono probabilistiche a più livelli, è così?

Mi andrebbe di parlare ancora un po’ del continuo, questo mistero misterioso. Ma a te al liceo non hanno menzionato una volta una cosa assolutamente incomprensibile che si chiamava ‘postulato di continuità della retta’? Una bizzarria da fuori di testa, sembrava. E infatti, io l’ho capita solo molto dopo.

A me il continuo evoca la marmellata, non quella con tutti i toccotti di frutta dentro (che tra l’altro molto preferisco), ma quella gelatinosa che sembra appunto completamente omogenea. Omogenea. Continuo deriva da cum-tineo, che si tiene assieme, una pappa nella quale non si può distinguere nessuna spaccatura, nessun confine, dato un punto non si può dire qual è il punto che viene subito dopo, perché appena ne dici uno, ce n’è un’altro più vicino ancora, eccetera.

Adesso uno può dire che lo sappiamo ormai da un secolo (per non parlare di Democrito e seguaci) che la materia ha una struttura atomica, è fatta di piccoli puntini di materia e di enormi vuoti tra essi, e quindi niente intuizioni marmellatose; ma l’intuizione che tutti quanti abbiamo si forma nei primi anni di vita su esperienze elementari e, siccome la nostra vista non è sensibile agli atomi, di fronte e una bella superficie, tipo di vetro o di ossidiana, o tipo la setosa superficie di una tazza di tè verde ben ossigenato, vediamo una bel ché compatto e omogeneo, senza buchi. E pertanto pretenderemmo che così veramente fosse, veramente, anche nel piccolo, e comunque ci formiamo l’idea del continuo, del senza buchi, neanche piccoli piccoli.

La matematica è arrivata bel bello a saziare questa sete di continuità e, nell’ultimo quarto dell’Ottocento, ha offerto (è stato soprattutto Richard Dedekind, 1872, v. ad es. http://en.wikipedia.org/wiki/Richard_Dedekind) una maniera di dire che cos’è il continuo, dopodiché ha proposto di dichiarare (ecco qui il summenzionato ‘postulato di continuità della retta’) che la retta è, appunto continua, cioè ha la stessa struttura di quella che la matematica aveva inventato per far posto, nell’insieme dei numeri, a tutti i numeri, anche quelli che non sappiamo bene cosa siano.

Ad esempio, il simbolo che tradizionalmente indica la radice quadrata di due [radice di due non è rappresentabile nel testo del blog, me ne scuso. Dario Voltolini]: simbolo e parole che vogliono dire cosa, esattamente? Nessun numero decimale finito, e neanche periodico, elevato al quadrato fa esattamente 2. I matematici la hanno fatta esistere (e come la radice di due una quantità di altri innumerevoli numeri decimali non periodici) con la forza bruta, cioè con una decisione della ragione, con un atto creativo. E questo fa parte naturalmente dell’esigenza di non lasciare buchi nell’insieme dei numeri. L’orrore del buco, dell’interruzione, come l’orrore del vuoto.

Insomma, il problema è che per dire dove sta un atomo del nostro gas, devo dire le sue coordinate, e, fino a convenzione contraria, ho a disposizione una spaventosa infinità di numeri per rappresentare le sue coordinate. Quant’è la sua coordinata (mettiamo la sua distanza dalla parete A)? E’ forse cm 5,25 oppure 5,255 , o 5,2552340994 , o quale altro numero è? Di misurarla con infinita precisione, ovviamente non c’è neanche da pensarlo vagamente, ma se ritengo che, almeno in linea di principio, essa sia un numero reale ben fissato, allora ce ne sono infinitamente tanti tanti, perché di numeri reali ce ne sono realmente tanti tanti. E questo ci crea dei guai per il nostro modo di costruirci un’idea di entropia, come avevamo fatto per il paesino.

Allora caviamo il coniglio dal cappello e dividiamo — ma idealmente, s’intende — la nostra scatola rigida dove è contenuto il gas in tante cellette, cioè in tanti cubettini, magari tanti, se sono piccoli, ma in numero finito; dividiamo lo spazio continuo occupato dal gas in tanti loculi. E questo è un passo di discretizzazione.

Che dici? Naturalmente è solo un’operazione del pensiero, mica mettiamo nel gas le cellette di plastica.

L’aristogas discretizzato, almeno un po’, per ora.

[9 – continua alla parte 10]